平面向量数量积的教学案例

一.案例背景

本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）第二章第四节《平面向量的数量积》的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程。

我所带的班级是榆次三中的普通班157班，这是一个文科班，班内共有学生50人，大多数同学数学成绩较差，因此每节数学课都以复习旧知引入。本节课是一节家常课，由于前面向量的加减法和数乘学生掌握的还可以，所以本节课只要多注意差生的表现，多注意课堂效率就好。学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，初步具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。 在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明会存在一定的困难,教学中要注意引导学生分析判断。

二.教学过程设计：

活动一：创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。  

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

答：物理模型→概念→性质→运算律→应用。

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算。导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义。

［设计意图］：1.明白新旧知识的联系性。2.明确研究向量的数量积这种运算的途径。

活动二：探究数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 

（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：

①W（功）是    量， ②F（力）是    量，

③S（位移）是   量，④α是             。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

（4）如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？

答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

（问题：在这个环节上，有一部分差生对功的定义和计算公式不太清楚，所以我邀请了两个物理学的好的同学先进行了功的知识的讲解，然后再继续下面的内容。）

2、清楚数量积的定义

（1）数量积的定义：

已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量︱︱·︱︱cosθ叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cosθ

（2）定义说明：

①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“ ”代替。     

② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

［设计意图］：1.认识向量的数量积的实际背景。2.使学生在形式上认识数量积的定义。3.从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白为什么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望。

（问题：由于前面一部分差生对三角函数的知识掌握的不太好，所以又处理了一下特殊角的余弦值。）

3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

  答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。

4、学生讨论，并完成下表：

θ的范围	θ=0°	0°<θ<90°	θ=90°	90°<θ<180°	θ=180°
·的符号

［设计意图］：引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。

活动三：探究数量积的运算性质

1、提出问题5：

（1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ 

（2）比较︱·︱与︱︱︱︱的大小，你有什么结论？ 

2、请证明上述结论。

3理解数量积的性质

 ［设计意图］：将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。

活动四：探究数量积的运算律

1、提出问题6：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？

答:①交换律：ab=ba  ②结合律：(ab)c=a(bc) ③分配律：(a+b)c=ac+bc

猜想：①·= · ② （·）= (·) ③（ + ）·=· + ·

2、分析猜想：

猜想①的正确性是显而易见的。

关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？

答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。

［设计意图］：要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律。通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性。

3、理解：数量积的运算律：

 4、学生活动：证明运算律2

在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量与λ，与λ的方向的关系如何？此时，向量λ与及与λ的夹角与向量与的夹角相等吗？

5、师生活动：证明运算律（3）

［设计意图］：学会利用定义证明运算律（1）(2)，运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成。

活动五：应用与提高

1、学生独立完成：已知︱︱=5,︱︱=4, 与的夹角θ=120°，求·。

［设计意图］：通过计算巩固对定义的理解。

2、师生共同完成：已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于哪种实数运算？

3、学生独立完成：对任意向量 ，b是否有以下结论：

（1）(+)2=2+2·+2        

（2）(+ )·(-)= 2—2

［设计意图］：让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与数运算的异同。

4、部分学生完成：已知︱︱=3，︱︱=4, 且 与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？

［设计意图］：学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程求解，体现向量的工具性。本题专为学有余力的学生提供。

5、反馈练习

（1）判断下列各题正确与否：

①、若≠0，则对任一非零向量，有·≠0．

②、若≠0，·＝·，则＝．

已知△ABC中，=, =，当· <0或·＝0时，试判断△ABC的形状。

［设计意图］：1.加强学生的练习。2.通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握。

活动六：小结

   1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量的数量积有哪些应用？

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？

 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

［设计意图］：通过学生讨论总结，加强了学生概念法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义。

活动七：布置作业 

1、课本P119习题2.4A组1、2、3。

2、拓展与提高：

已知与都是非零向量，且+3 与7 -5垂直，-4与 7-2垂直，求与的夹角。（本题供学有余力的同学选做）

［设计意图］：通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的。

三.教学反思：

本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣。通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前有助于学生更好理解数量积的结果是数量而不是向量。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情景，让学生自己去探究、去发现结论,教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则。