应用性问题的数学模型的案例

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的课程目标中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够实步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”并“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。近几年各地中考数学命题围绕这一目标进行了积极的探索，出现了许多情景新颖、富有时代气息、贴近现实生活的新型应用题。这类问题的非数学背景材料趋于复杂，数学结构趋于隐蔽，具有创新性、开放性、综合性的特点，对学生的阅读理解能力、数学建模能力、分析问题和解决问题能力的考察和培养都提出了更高的要求。对此进行分析和研究，有利于我们更好地了解中考改革的方向，有利于课程改革的推进和教学改革的落实。

解决应用性问题的一般步骤是：

（1）审题：分析题意，将实际问题中的条件、结果及相互关系用数学语言正确地表示出来。（2）建模：建立解题适用的关系式，构造出相应的数学模型。（3）解模：根据所构建的数学模型进行求解。（4）检验：将上面求得的答案进行检验，是否与实际相符合。

以上步骤可表示为：

   在这四个步骤中，最关键的是建模，下面就常见的几种数学模型进行举例介绍。

1、方程（组）模型

例1．（2003北京市）在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：

甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；

乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；

丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”。

请你根据他们所提供的信息，求出高锋时段三环路、四环路的车流量各是多少？

解：设高峰时段三环路车流量为每小时x辆，则高峰时段四环路的车流量为每小时（x+2000）辆。根据题意得：

3x－（x+2000）=2×10000

解得x=11000

∴ x+2000=13000

答：高峰时段三环路车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆。

评析：本题是一个列方程或方程组的应用题，难度不太，但是它跳出传统应用题的模式，让学生在一个现实的情境下，经历一个收集，处理信息，建立数学模型的过程，要求学生有更强的应用意识。

2、不等式（组）模型

例2．（2003苏州市）我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米/秒的时间共约160天，其中日平均风速不小于6米/秒的时间占60天。为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：

根据上面的数据回答：

（1）若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为　　　　千瓦·小时；

（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元，该发电场拟购风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电量不少于102000千瓦·小时，请你提供符合条件的购机方案。

解：（1）（100×36+60×150）x=12600x。

  （2）该购A型发电机x台，则购B型发电机（10－x）台，由题意得：

0.3x+0.2（10－x）≤2.6

12600x+7800（10－x）≥102000

解得5≤x≤6

故可购A型发电机5台，B型发电机5台；或购A型发电机6台，B型发电机4台。

评析：现实世界中的不等关系是普遍存在的，通过确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识。本题的第(2)小题是决策性问题，不等式和不等式组是解决决策性问题的重要模型之一。

3、函数模型

例3．（2003河北省）某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为40元。在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件。设销售单位为x元，年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额－成本－投资）为z（万元）。

（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售分别为多少万件？

（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图像说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

评析：函数模型是解决应用性问题的最常见模型，在初中阶段主要有一次函数和二次函数。本题主要涉及根据题意列函数关系式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的最值问题及如何利用图象求一元二次不等式的解等问题，其中利用图象解一元二次不等式是初中学习的边缘问题，与高中知识有密切联系，具有新意，但难度较大。从函数图象中获取信息和应用信息，体现了数形结合的思想，应引起我们的重视。

4、统计知识模型

例4．（2003安徽省）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调整前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：

（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？

（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是怎样计算的？

（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？

评析：在当今时代，生活中充斥着各种数据，正确地运用统计知识解决实际问题，是培养学生应用意识的重要内容。本题一反常态，给出统计分析的结果，让学生判断计算方法，颇且新意，这不但要求学生要熟悉统计知识，更需要学生有较强的逆向思维能力。

5、平面几何模型

例5．（2003贵州省）如图2，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经过16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动。距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。

（1）问：B处是否会受到台风影响？请说明理由。

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸空货物？

图2　　　　　　　　　　　   图3

解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为点D，由题意得：

∠BAC=30°，AB=320

在Rt△ABD中，BD=AB=160＜200

∴ B处会受到台风的影响。

（2）以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E，F（如图3）。

在Rt△BDE和Rt△ABD中，由勾股定理得：

故该船应在3.8 小时内卸完货物，才能避免受到台风的影响。

评析：有关航海、测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带转动、坡比计算、作物栽培等应用性问题，涉及一定图形的性质，常需要建立相应的几何模型，用几何知识求解。本例活泼新颖，有较高的实际价值，解题过程中，将以台风中心为圆点，200海里为半径的动圆转化为以B点为圆心的定圆是关键，对学生的思维能力、相对运动的思想要求较高。2003年全国高考试题中有与之类似的问题，但高中学生往往将思维固定在动圆上，用解折几何中圆的方程进行求解，反而较繁烦。可见，恰当地运用平面几何知识，能收到化难为易、化繁为简的效果。

应当指出，以上所述的五种模型并不是完全割裂的，它们之间是有联系的，如函数、方程与不等式就是联系非常紧密的系统。同时，对于同一个问题，也可以用不同的数学模型解决。总之，数学教学中，应积极引导学生充分利用已知信息，寻求已知和所求之间的联系，通过分析、联想、归纳，将实际问题转化为方程（组）、不等式（组）、函数、统计、几何或三角函数等相应的数学问题进行求解，增强学生应用数学模型解决实际问题的意识，从而培养学生的创新精神和实践能力。